головна сторінка головна сторінка головна сторінка головна сторінка

Закони випадкового

Наука и техника
 
ru - ua - en - fr - by - de - es

Усім нашим життям правлять закони ймовірності. Хто знає, що чекає нас завтра - виграш у лотереї або нещасний випадок? Точно передбачити майбутнє неможливе. Але, володіючи всією потрібною інформацією, можна прорахувати ступінь імовірності того або іншої події

Підкидаючи монетку, ми говоримо, що ймовірність випадання "орла" або "решки" становить 50 на 50. Це значить, що з 100 спроб монета ляже 50 раз "орлом" нагору й стільки ж - "решкою". Втім, говорити про ймовірність 50:50 не зовсім вірно, тому що шанс або ймовірність даного події - це число происшедших подій, розділене на загальне число отриманих результатів. Таким чином, і "орел", і "решка" можуть випасти по 50 раз із 100. Ступінь імовірності можна виразити як 50%, 0.5, 1 з 2 або 1/2.


Шанси

Іноді замість імовірності події ми говоримо про шанси за або проти, співвідносячи число шансів на користь і проти даного події. У випадку з однієї монеткою із двох можливих результатів є один шанс, що "орел" випаде, і один - що не випаде. Тому їх співвідношення становить 1:1, або шанси рівні. Говорячи, що є тільки два можливі варіанти падіння підкинутої монети, ми відкидаємо незначну ймовірність падіння монети на ребро. Однак при обчисленні шансів це не має абсолютно ніякого значення - цим результатом зневажать і підкинуть монету ще раз. Тепер спробуємо підкидати відразу дві монетки. У результаті будуть випадати або два "орла", або дві "решки", або "орел" і "решка". Видалося б, шанс кожного із цих результатів рівний 1/3. Однак, підкинувши дві монетки 100 раз підряд, ви виявите, що два "орла" і дві "решки" випали приблизно по 25 раз, а комбінація одного "орла" з однієї "решкою" - близько 50. Виходить, шанси для двох "орлів" і двох "решок" становлять приблизно по 1/4, зате для одного "орла" і однієї "решки" - близько 50/100 або 1/2. Чому ж так виходить?

Відповідь легко знайти, якщо побрати одну мідну й одну срібну монетку. Комбінація " орелррешка" може випасти двома способами: або мідний "орел" і срібна "решка", або навпаки. Іншими словами, можливих результатів тут не 3, а 4. Два з них дають комбінацію "орла" і "решки", і тільки по одному - два "орла" і дві "решки". От чому комбінації " орелррешка" випадають удвічі частіше, чим будь-яка інша. У цьому випадку шанси проти двох "орлів" становлять 2:1 і стільки ж проти двох "решок", тоді як у комбінації " орелррешка" шанси 1:1.


Перестановки

У випадку із двома монетами математик сказав би, що існують чотири можливі перестановки "орла" і "решки", але лише в трьох можливих комбінаціях. Іншими словами, перестановка " орелррешка" не ідентична перестановці " решкааорел", але обидві становлять одна комбінацію. Тут неважко заплутатися, тому що в повсякденнім житті ці слова застосовуються в іншому значенні. Цифровий замок, що відкривається комбінацією 1-2-3-4, не відкриється, якщо набрати 1-3-2-4. Будучи однією математичною комбінацією, обоє набору цифр є різними перестановками. Так що вірніше назвати цей замок "перестановочным". Також неправильно називають пермутацией, або "перм", комбінація цифр на футбольному купоні

Загальне число перестановок, одержуваних при підкиданні монет, можна обчислити, перемноживши кількості варіантів падіння кожної монети. Маючи дві монети, ми одержимо 2x2 = 4 перестановки. З 4 монетами вийде 2 х 2 х 2 х 2=16 перестановок

Таким же способом можна прорахувати число перестановок для гральних костей. Скажемо, для двох костей їх число рівне 6 х 6 = 36, а для трьох -6x6x6 = 216.

Який шанс того, що у двох перших людей, що попалися, збіжаться дні народження? Якщо зневажити зайвими днями високосних років, тоді він рівний 1/365. Інакше кажучи, це досить малоймовірно. Якщо побрати клас із 36 учнів, можна подумати, що шанс такого збігу усе ще невеликий - приблизно 36 з 365 або 1/10. Але, як ні дивно, насправді він набагато вище - 8:10 або 80%.

временное хранение вещей

Єдиними труднощами в таких завданнях є велику кількість можливих перестановок. День народження може збігтися в Джона й Мэри, у Мэри й Фреда або в будь-якої іншої пари учнів. А в класі з 36 хлопців існують 630 можливих пар. Справа в тому, що є 36 варіантів вибору першого члена пары й 35 - другого. Перемноживши 36 на 35, ми одержимо 1260 перестановок, але число комбінацій удвічі менше цієї цифри, тому що, наприклад, перестановки " Джон-Мэри" і " Мэри-Джон" є однією комбінацією. Тому загальне число комбінацій рівно 1260/2 = 630. На щастя, замість того щоб розглядати всі ці варіанти, наше завдання можна розв'язати простіше. Розглянемо варіант повної розбіжності днів народження

Якщо ми попросимо всіх учнів по черзі назвати свій день народження, те 364 шансу з 365 або 364/365 будуть за те, що другий з названих днів не збіжиться з першим. Шанс розбіжності третього з названих днів з першими двома становить 363 з 365, тому що тепер можуть збігтися вже дві дати з 365. Продовживши до кінця, ви виявите, що шанс розбіжності Зб-Го по рахункові дня народження з іншими рівний 330/365 або близько 90%. Втім, шанс повної розбіжності днів народження в класі можна обчислити, перемноживши всі ці дробові величини. Спробуйте зробити це на калькуляторі й побачите, що шанс повної розбіжності днів народжень рівний приблизно 20%.


А що в середньому?

Коли ми говоримо про пятидесятипроцентной імовірності того, що щось відбудеться, ми маємо на увазі, що ця подія відбувається в середньому в 50 випадках з 100. Але результати навіть декількох нескладних досвідів можуть говорити про зворотнє. Поберемо крайній випадок. Підкинувши монету всього один раз, ми одержимо або стовідсоткового "орла", або стовідсоткову "решку". Але, підкидаючи монету досить багато раз, ми побачимо, що відсоток "орлів" наближається до п'ятдесяти. Дехто помилково починає, що цей факт допомагає передбачити події, що залежать винятково від волі випадку. Скажемо, якщо "орел" випав чотири рази підряд, те в черговий раз монета, швидше за все, упаде "решкою" нагору. Причина нібито в тому, що заради збереження золотий пятидесятипроцентной середини "решка" просто необхідна. Насправді ж у довгому ряді подій чи навряд найдеться така крапка, де співвідношення "орлів" і "решок" рівнялося б точно п'ятдесяти відсоткам, і мова йде тільки про цифру, навколо якої воно буде коливатися. Але між розрахунковою й фактичною кількістю "орлів" і "решок" звичайно завжди є невелика розбіжність. Приміром, чотири зайві "орла" у ряді з 1000 підкидань (502 "орла", 498 "решок") дадуть результат дуже близький до п'ятдесяти відсоткам прогностичних "орлів", який і буде розглядатися як підтвердження розрахунків. Правило ж у тому, що результат одного випадкової події подібного типу не впливає на результат наступного. Такі події називають незалежними

Не всі події незалежні. Наприклад, шанс витягнути карту червоної масті зі звичайної колоди в 52 аркуша рівний п'ятдесяти відсоткам. Однак після цього у вашій колоді залишиться 25 червоних карт із 51. Тому шанс витягнути наступну червону карту складе тепер 25/51 або близько сорока дев'яти відсотків. Зрозуміло, якщо вийняту карту щораз повертати в колоду, то шанс витягнути карту будь-якого кольору завжди буде рівний п'ятдесяти відсоткам. У деяких карткових іграх досвідчені гравці можуть постійно вигравати, чіпко тримаючи в пам'яті скинуті карти й оцінюючи шанси появи в них або в партнерів потрібних имкарт.


Букмекери

БукмекериВ азартних іграх заради наживи або задоволення робляться ставки на певний результат або подію. Не в силах боротися зі спокусою, деякі люди просаживают за ігорним столом надзвичайні гроші. Декому, щоправда, вдається зірвати куш, але більшість, в остаточному підсумку, залишається в програші. От чому ігорним бізнесом промишляють окремі люди, і цілі компанії заради прибутку, що надходить від клієнтів. Букмекери на перегонах дістають прибуток, пропонуючи на учасників заїзду ставки нижче (або вище) фактичних. Скажемо, якщо в забігу беруть участь шість абсолютно рівних під силу гончих собак, шанси кожної з них на перемогу рівні 1/6. Тому правильна ставка на кожного пса повинна бути 5:1. Але букмекер пропонує тільки 4:1. Це значить, що, що поставив на переможця одержить назад свої гроші плюс учетверо більше. Якщо кожний із шести гравців поставить 100 фунтів на свій собаку, букмекер одержить 600 фунтів. Яка б з них не перемогла, він виплатить тільки 500 фунтів, тобто 100 фунтів ставки плюс ще 400, залишивши в кишені зайву сотню


Гра для простаків

На практиці букмекер змінює ставки залежно від суми поставлених грошей. Ставки на визнаного фаворита будуть поступово знижуватися, щоб скоротити виплати у випадку його перемоги. У той же час ставки на відомих "слабаків" будуть підвищуватися, щоб підстьобнути гравців. В остаточному підсумку, виграє букмекер, а гравці залишаються впроигрыше.

Спочатку Британська національна лотерея зазнавала суворої критики через зовсім незначні шанси виграти головний приз - приблизно 14 мільйонів до одному. Однак її успіху багато в чому сприяла сама величина головного призу й той факт, що чимала частина грошей, внесених за квитки, іде на благодійні мети


Страхування

Багато з людей заявляють, що вони рішуче проти будь-яких азартних ігор. Проте, кожний з нас відіграє з долею на свій лад. Навіть перехід вулиці сполучений з відомим ризиком, тому що пішоходи іноді гинуть під колесами автомашин. Однак можна зм'якшити наслідку нещасного випадку, купивши страховий поліс. Страховка - це свого роду парі, яке ми сподіваємося програти. Іншими словами, ми сперечаємося зі страховою компанією на те, що потрапимо в яке-небудь лихо. Якщо так і трапляється, ми виграємо парі, і компанія виплачує компенсацію нам або найближчому родичеві у випадку нашої смерті. Страхова компанія, як справдешній букмекер, дістає прибуток, виплачуючи по страховках менше, чим було зібрано за продані поліси.

Rambler's Top100